2. 考研
  3. 设α1，α2，…,αm为一个向量组，且α1≠θ，每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…,αi-1线性表示，求证：α1，α2，…,αm线性无关．

设α1，α2，…,αm为一个向量组，且α1≠θ，每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…,αi-1线性表示，求证：α1，α2，…,αm线性无关．

admin2013-03-17  27
问题 设α1，α2，…,αm为一个向量组，且α1≠θ，每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…,αi-1线性表示，求证：α1，α2，…,αm线性无关．
选项
答案用定义证明．假设存在一组数k1，k2，…,km使得 k1α1+k2α2+…+kmαm=θ， 若k1，k2，…，km全为零，显然α1，α2，…,αm线性无关；若k1，k2，…,km不全为零，对k1，k2，…,km从右向左看，设第一个不为零的数为ki，即ki≠0，ki+1=0，…，km=0，于是有k1α1+k2α2+…+kiαi=θ．若i=1，则k1α1=θ，从而α1=θ，与α1≠θ矛盾；若i≠1，则αi=-(1/ki)(k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1)，与每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…，αi-1线性表示矛盾，因此，k1，k2，…,km必须全为零，这说明α1，α2，…,αm线性无关．
解析
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考研数学三

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