2. 考研
  3. 设向量组(Ⅰ)：α1 ，α2 ，…，αm ，组(Ⅱ)：β1 ，β2 ，…，βn ，其秩分别为r1 ，r2 ，向量组(Ⅲ)：α1 ，α2 ，…，αm ，β1 ，β2 ，…，βn的秩为r3 ，证明max{r1 ，r2}≤r3≤r1+r2．

设向量组(Ⅰ)：α1 ，α2 ，…，αm ，组(Ⅱ)：β1 ，β2 ，…，βn ，其秩分别为r1 ，r2 ，向量组(Ⅲ)：α1 ，α2 ，…，αm ，β1 ，β2 ，…，βn的秩为r3 ，证明max{r1 ，r2}≤r3≤r1+r2．

admin2016-12-16  65
问题 设向量组(Ⅰ)：α1 ，α2 ，…，αm ，组(Ⅱ)：β1 ，β2 ，…，βn ，其秩分别为r1 ，r2 ，向量组(Ⅲ)：α1 ，α2 ，…，αm ，β1 ，β2 ，…，βn的秩为r3 ，证明max{r1 ，r2}≤r3≤r1+r2．
选项
答案分别取向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的最大无关组： [*] 因组(Ⅲ)能由(Ⅳ)’线性表出，其部分组(Ⅲ)’也能由(Ⅳ)’线性表出，且组(Ⅲ)’线性无关． 对于组(Ⅲ)’与组(Ⅳ)’，有r3≤r1+r2． 因组(Ⅰ)’、组(Ⅱ)’分别可由组(Ⅲ)’线性表出，且组(Ⅰ)’、组(Ⅱ)’分别线性无关，于是 r1≤r3 ，r2≤r3 ，则max(r1 ，r2)≤r3．
解析 遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时，常取其最大无关组作出线性无关的向量组，利用有关结论证其相关命题。
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考研数学三

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