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设向量组(Ⅰ):α1 ,α2 ,…,αm ,组(Ⅱ):β1 ,β2 ,…,βn ,其秩分别为r1 ,r2 ,向量组(Ⅲ):α1 ,α2 ,…,αm ,β1 ,β2 ,…,βn的秩为r3 ,证明max{r1 ,r2}≤r3≤r1+r2.
设向量组(Ⅰ):α1 ,α2 ,…,αm ,组(Ⅱ):β1 ,β2 ,…,βn ,其秩分别为r1 ,r2 ,向量组(Ⅲ):α1 ,α2 ,…,αm ,β1 ,β2 ,…,βn的秩为r3 ,证明max{r1 ,r2}≤r3≤r1+r2.
admin
2016-12-16
31
问题
设向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
m
,组(Ⅱ):β
1
,β
2
,…,β
n
,其秩分别为r
1
,r
2
,向量组(Ⅲ):α
1
,α
2
,…,α
m
,β
1
,β
2
,…,β
n
的秩为r
3
,证明max{r
1
,r
2
}≤r
3
≤r
1
+r
2
.
选项
答案
分别取向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的最大无关组: [*] 因组(Ⅲ)能由(Ⅳ)’线性表出,其部分组(Ⅲ)’也能由(Ⅳ)’线性表出,且组(Ⅲ)’线性无关. 对于组(Ⅲ)’与组(Ⅳ)’,有r
3
≤r
1
+r
2
. 因组(Ⅰ)’、组(Ⅱ)’分别可由组(Ⅲ)’线性表出,且组(Ⅰ)’、组(Ⅱ)’分别线性无关,于是 r
1
≤r
3
,r
2
≤r
3
,则max(r
1
,r
2
)≤r
3
.
解析
遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时,常取其最大无关组作出线性无关的向量组,利用有关结论证其相关命题。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t6H4777K
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考研数学三
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