2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b－a) ∫abf(x)g(x)dx．

设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b－a) ∫abf(x)g(x)dx．

admin2022-06-30  33
问题 设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b－a) ∫abf(x)g(x)dx．
选项
答案令F(x，y)=[f(x)－f(y)][g(x)－g(y)]，D=｛(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b｝， 因为f(x)，g(x)在[a，b]上为增函数，所以F(x，y)≥0，从而∫abdx∫abF(x，y)dy≥0， 而∫abdx∫abF(x，y)dy=∫abdx∫ab[f(x)g(x)－f(x)g(y)－f(y)g(x)+f(y)g(y)]dy =(b－a)∫abf(x)g(x)dx－∫abf(x)dx∫abg(y)dy－ ∫abg(x)dx∫abf(y)dy+(b－a)∫abf(y)g(y)dy =2(b－a)∫abf(x)g(x)dx－2∫abf(x)dx∫abg(x)dx， 故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b－a)∫abf(x)dx．
解析
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考研数学二

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