设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求A的所有特征值与特征向量；

admin2013-03-29 67

问题设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且

求A的所有特征值与特征向量；

选项

答案r(A)=2知丨A丨=0，所以λ=0是A的特征值， [*] 所以按定义λ=1是A的特征值，α₁=(1，0，1)^T是A属于λ=1的特征向量； A=-1是A的特征值，α₂=(1，0，-1)^T是A属于λ=-1的特征向量．设α₃=(x₁，x₂，x₃)^T是A属于特征值λ=0的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此 α₁^Tα₃=x₁+x₃=0； α₂^Tα₃=x₁-x₃=0；解得α₃=（0,1,0）^T 故矩阵A的特征值为1，-1，0；特征向量依次为 k₁(1，0，1)^T，k₂(1，0，-1)^T，k₃(0，1，0)^T，其中k₁，k₂，k₃均是不为0的任意常数．

解析

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