欧几里德几何系统的第五条公理判定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。要是数学家的上述怀疑成立。以下哪项必须成立? I．在同一平面

admin2013-05-23 60

问题欧几里德几何系统的第五条公理判定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。
要是数学家的上述怀疑成立。以下哪项必须成立?
I．在同一平面上，过直线外一点可能无法作一条直线与该直线平行。
Ⅱ．在同一平面上，过直线外一点作多条直线与该直线平行是可能的。
Ⅲ．在同一平面上，如果过直线外一点不可能作多条直线与该直线平行，那么，也可能无法只作一条直线与该直线平行。

选项 A、只有I
B、只有Ⅱ
C、只有Ⅲ
D、只有I和Ⅱ
E、I、Ⅱ和Ⅲ

答案C

解析令P表示“过直线外一点可以作一条直线与该直线平行”；Q表示“过直线外一点只可以作一条直线与该直线平行”。则第五公理是断定“P∧Q”。
数学家的怀疑就是上述命题的负命题，即“_^﹁∨^﹁Q”。
问题是：“要是数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立?”其进一步等价于“如果数学家的上述怀疑成立，那么，以下哪项就一定成立”。
选项I即为_1P。由“^﹁P∨^﹁Q”，不能确定^﹁P成立；因此，要使对第五公理的怀疑成立，工项不必须成立。
选项Ⅱ即为^﹁Q。由“^﹁P∨^﹁Q”，不能确定^﹁Q成立；因此，要使对第五公理的怀疑成立，Ⅱ项不必须成立。
选项Ⅲ即为Q→^﹁P。由“^﹁P∨^﹁Q”，可以确定“Q→^﹁P”成立；因此，要使对第五公理的怀疑成立，Ⅲ项必须成立。

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