设a，b，c是三角形的三边长，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，则该三角形为( )。

admin2023-02-21 57

问题设a，b，c是三角形的三边长，且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式，则该三角形为( )。

选项 A、等腰非等边三角形
B、等边三角形
C、钝角三角形
D、直角三角形
E、以上选项均不正确

答案D

解析三角形的形状判断问题
已知二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式，由因式定理，可知两个方程有公共根，设公共根为x₀，则有

  两式相加，可得x₀[x₀+(a+c)]=0。
  若x₀=0，代入x₀²+2ax₀+b²=0，可得b=0，不符合题干，故x₀=-a-c，代入x₀²+2ax₀+b²=0，得(a+c)²-2a(a+c)+b²=0，即a²=b²+c²。
  所以，该三角形为直角三角形。

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