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  3. 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有

设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有

admin2012-02-09  50
问题 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有
选项 A、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．
D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．
答案
解析 若η是(I)的解，则Aη=0，那么(ATA)η=AT(Aη)=AT0=0，即η是(Ⅱ)的解。
    若a是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘得αTATAα=0．即(Aα)T(Aα)=0．亦即Aα自己的内
积(Aα，Aα)=0，故必有Aα=0，即α是(I)的解．
    所以(I)与(Ⅱ)同解，故应选(A)．
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