设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm-1A，并求出t；(2)求可逆矩阵P-1使P-1AP成对角矩阵。

admin2015-09-14 61

问题设n维实向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T≠0，方阵A=αα^T(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使A^m=t^m-1A，并求出t；(2)求可逆矩阵P^-1使P^-1AP成对角矩阵。

选项

答案(1)A^m=(αα^T)(αα^T)…(αα^T)=α(α^Tα)^m-1α^T=(α^Tα)^m-1(αα^T)=[*]A=t^m-1A，其中t=[*]因为实对称矩阵A的非零特征值的个数就等于A的秩，故A只有一个非零特征值，而有n一1重特征值λ₁一λ₂=…=λ_n-1=0，计算可得属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设α₁≠0)：ξ₁=[*]。由于A的全部特征值之和等于A的主对角线元素之和[*]，故得A的唯一的非零特征值为λ_n=[*]=α^Tα，且由Aα=(αα^T)α=α(α^Tα)=αλ_n=λ_nα可得α为对应于λ_n的一个特征向量。令矩阵P=[ξ₁…ξ_n-1α]，则有P^-1AP=diag(0，0，…，0，[*])为对角矩阵。

解析

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考研数学三

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设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm-1A，并求出t；(2)求可逆矩阵P-1使P-1AP成对角矩阵。

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