2. 考研
  3. 设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm-1A，并求出t；(2)求可逆矩阵P-1使P-1AP成对角矩阵。

设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm-1A，并求出t；(2)求可逆矩阵P-1使P-1AP成对角矩阵。

admin2015-09-14  103
问题 设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm-1A，并求出t；(2)求可逆矩阵P-1使P-1AP成对角矩阵。
选项
答案(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m-1αT=(αTα)m-1(ααT)=[*]A=tm-1A，其中t=[*]因为实对称矩阵A的非零特征值的个数就等于A的秩，故A只有一个非零特征值，而有n一1重特征值λ1一λ2=…=λn-1=0，计算可得属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设α1≠0)：ξ1=[*]。由于A的全部特征值之和等于A的主对角线元素之和[*]，故得A的唯一的非零特征值为λn=[*]=αTα，且由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα可得α为对应于λn的一个特征向量。令矩阵P=[ξ1…ξn-1α]，则有P-1AP=diag(0，0，…，0，[*])为对角矩阵。
解析
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考研数学三

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