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设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm-1A，并求出t；(2)求可逆矩阵P-1使P-1AP成对角矩阵。
设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm-1A，并求出t；(2)求可逆矩阵P-1使P-1AP成对角矩阵。
admin
2015-09-14
93
问题
设n维实向量α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
≠0，方阵A=αα
T
(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使A
m
=t
m-1
A，并求出t；(2)求可逆矩阵P
-1
使P
-1
AP成对角矩阵。
选项
答案
(1)A
m
=(αα
T
)(αα
T
)…(αα
T
)=α(α
T
α)
m-1
α
T
=(α
T
α)
m-1
(αα
T
)=[*]A=t
m-1
A，其中t=[*]因为实对称矩阵A的非零特征值的个数就等于A的秩，故A只有一个非零特征值，而有n一1重特征值λ
1
一λ
2
=…=λ
n-1
=0，计算可得属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设α
1
≠0)：ξ
1
=[*]。由于A的全部特征值之和等于A的主对角线元素之和[*]，故得A的唯一的非零特征值为λ
n
=[*]=α
T
α，且由Aα=(αα
T
)α=α(α
T
α)=αλ
n
=λ
n
α可得α为对应于λ
n
的一个特征向量。令矩阵P=[ξ
1
…ξ
n-1
α]，则有P
-1
AP=diag(0，0，…，0，[*])为对角矩阵。
解析
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考研数学三
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