2. 考研
  3. 设y=f(x)为[a，b]上严格增的连续曲线(图9-1)． 试证存在ξ∈(a，b)，使图中两阴影部分面积相等，

设y=f(x)为[a，b]上严格增的连续曲线(图9-1)． 试证存在ξ∈(a，b)，使图中两阴影部分面积相等，

admin2022-11-23  37
问题 设y=f(x)为[a，b]上严格增的连续曲线(图9-1)．
   
    试证存在ξ∈(a，b)，使图中两阴影部分面积相等，
选项
答案作辅助函数 F(t)=∫at[f(x)-f(a)]dx-∫tb[f(b)-f(x)]dx， 则F(t)在[a，b]连续可导．由f(x)为严格增函数可得 F(a)=-∫ab[f(b)-f(x)]dx＜0，F(b)=∫ab[f(x)-f(a)]dx＞0， 由根的存在性定理，在(a，b)内存在一点ξ，使得F(ξ)=0，即 ∫aξ[f(x)-f(a)]dx=∫ξb[f(b)-f(x)]dx， 上式两端恰为两部分面积，故证得结论．
解析
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考研数学二

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