设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内大于零，并满足xf’(x)=f(x)+x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与直线x=0，x=1，y=0所围成图形S的面积为2． a为何值时，图形S绕x轴旋转一周得到的体积最小．

admin2019-03-07 31

问题设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内大于零，并满足xf^’(x)=f(x)+

x²(a为常数)，又曲线y=f(x)与直线x=0，x=1，y=0所围成图形S的面积为2．
a为何值时，图形S绕x轴旋转一周得到的体积最小．

选项

答案V=V(a)=π∫₀¹f²(x)dx=π∫₀¹[*]． V^’(a)=[*]，令V^’(a)=0得a=一5，V^’’(a)=[*]，V^’’(一5)=[*]＞0． a=一5是V的唯一极小值点，从而为最小值点，因此a=一5时，旋转体的体积最小．

解析

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高等数学二

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