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设二次型f=2χ12+2χ22+aχ32+2χ1χ2+2bχ1χ3+2χ2χ3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12y22+4y32,求参数a,b及正交矩阵Q.
设二次型f=2χ12+2χ22+aχ32+2χ1χ2+2bχ1χ3+2χ2χ3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12y22+4y32,求参数a,b及正交矩阵Q.
admin
2017-09-15
83
问题
设二次型f=2χ
1
2
+2χ
2
2
+aχ
3
2
+2χ
1
χ
2
+2bχ
1
χ
3
+2χ
2
χ
3
经过正交变换X=QY化为标准形f=y
1
2
y
2
2
+4y
3
2
,求参数a,b及正交矩阵Q.
选项
答案
二次型f=2χ
1
2
+2χ
2
2
+aχ
3
3
+2χ
1
χ
3
+2bχ
1
χ
3
+2χ
2
χ
3
的矩阵形式为 f=X
T
AX 其中[*] 因为Q
T
AQ=B=[*],所以A~B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是A的特征值为1,1,4. 而|λE-A|=λ
3
-(a+4)λ
2
+(4a-b
2
+2)λ+(-3a-2b+2b
2
+2),所以有 λ
3
-(a+4)λ
2
+(4a-b
2
+2)λ+(-3a-2b+2b
2
+2)=(λ-1)
2
(λ-4), 解得a=2,b=1.当λ
1
=λ
2
=1时,由(E-A)X=0得 [*] 由λ
3
=4时,由(4E-A)X=0得ξ
3
=[*]. 显然ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
两两正交.单位化为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wzk4777K
0
考研数学二
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