2. 考研
  3. 设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积．

设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积．

admin2016-06-27  44
问题 设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积．
选项
答案因为t|t|为奇函数，可知其原函数 f(x)=∫-1xt|t|dt=∫-10t|t|dt+∫0xt|t|dt 为偶函数，因此由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)． 又由f’(x)=x|x|，可知x＜0时，f’(x)＜0，故f(x)单调减少，从而f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)；当x＞0时，f’(x)=x|x|＞0，故x＞0时f(x)单调增加，且y=f(x)与x轴有唯一交点(1，0)． 因此y=f(x)与x轴交点仅有两个． 所以封闭曲线所围面积 A=∫-11|f(x)|dx=2∫-10|f(x)|dx． [*]
解析
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考研数学三

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