设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积．

admin2016-06-27 59

问题设f(x)=∫_-1^xt|t|dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积．

选项

答案因为t|t|为奇函数，可知其原函数 f(x)=∫_-1^xt|t|dt=∫_-1⁰t|t|dt+∫₀^xt|t|dt 为偶函数，因此由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)．又由f’(x)=x|x|，可知x＜0时，f’(x)＜0，故f(x)单调减少，从而f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)；当x＞0时，f’(x)=x|x|＞0，故x＞0时f(x)单调增加，且y=f(x)与x轴有唯一交点(1，0)．因此y=f(x)与x轴交点仅有两个．所以封闭曲线所围面积 A=∫_-1¹|f(x)|dx=2∫_-1⁰|f(x)|dx． [*]

解析

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