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  3. 求下列隐函数的微分或导数： (Ⅰ)设ysinx-cos(x-y)=0，求dy； (Ⅱ)设由方程确定y=y(x)，求y’与y’’．

求下列隐函数的微分或导数： (Ⅰ)设ysinx-cos(x-y)=0，求dy； (Ⅱ)设由方程确定y=y(x)，求y’与y’’．

admin2016-10-20  62
问题 求下列隐函数的微分或导数：
(Ⅰ)设ysinx-cos(x-y)=0，求dy；
(Ⅱ)设由方程确定y=y(x)，求y’与y’’．
选项
答案(Ⅰ)方法1° 利用一阶微分形式不变性求得。 d(ysinx)-dcos(x-y)=0， 即 sinxdy+ycosxdx+sin(x-y)(dx-dy)=0， 整理得 [sin(x-y)-sinx]dy=[ycosx+sin(x-y)]dx， 故[*] 方法2° 先求y’，再写出dy=y’dx．等式两端对x求导，注意y=y(x)．下略． 方法3° 记F(x，y)=ysinx-cos(x-y)，代公式得 [*] (Ⅱ)方法1° 将原方程两边取对数，得等价方程 [*] 于是方程两边对x求导并注意y是x的函数，即得 [*] 方法2° 将方程(*)两边求微分得 [*] 化简得xdx+ydy=xdy-ydx，即 (x-y)dy=(x+y)dx， 由此解得[*] 为求y’’，将y’满足的方程(x-y)y’=x+y两边再对x求导，即得 [*] 代入y’表达式即得 [*]
解析
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考研数学三

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