设A= (Ⅰ)求A的对应于ξi(i=1，2，3)的特征值； (Ⅱ)求Ax=ξ3的通解； (Ⅲ)求A．

admin2016-05-03 30

问题设A=

(Ⅰ)求A的对应于ξ_i(i=1，2，3)的特征值；
(Ⅱ)求Ax=ξ₃的通解；
(Ⅲ)求A．

选项

答案(Ⅰ)因ξ₁，ξ₂，ξ₃是A的特征向量，假设对应的特征值分别是λ₁，λ₂，λ₃，则有 [*] (Ⅱ)A是3×3的非零矩阵(a₁₁=1≠0)，r(A)≥1． Aξ₁=0，Aξ₂=0，且ξ₁，ξ₂线性无关，所以r(A)≤1．则r(A)=1，ξ₁，ξ₂是Ax=0的基础解系．又因Aξ₃=(一1)ξ₃，故A(一ξ₃)=ξ₃，Ax=ξ₃有特解一ξ₃，从而Axξ₃的通解为k₁ξ₁+k₂ξ₂一ξ₃，其中k₁，k₂是任意常数． (Ⅲ)直接由题设条件解出未知的a_ij(i=2，3，j=1，2，3)，从而求出A．因r(A)=1，故(a₂₁，a₂₂，a₂₃)=k(1，一2，3)，(a₃₁，a₃₂，a₃₃)=l(1，一2，3)，即 [*] 两端第2个分量，第3个分量分别相等，得 k=一2，l=一2．故A=[*]。

解析

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考研数学三

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