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求一个正交变换,化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形. 求可逆矩阵P,使P-1AP=B.
求一个正交变换,化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形. 求可逆矩阵P,使P-1AP=B.
admin
2013-03-29
42
问题
求一个正交变换,化二次型
f=x
1
2
+4x
2
2
+4x
3
2
-4x
1
x
2
+4x
1
x
3
-8x
2
x
3
为标准形.
求可逆矩阵P,使P
-1
AP=B.
选项
答案
因为A~B,A与B有相同的特征值,故矩阵A的特征值是λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=6. 当λ=2时,由(2E-A)x=0,[*] 得到基础解系为α
1
=(-1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
,即为矩阵A的属于特征值λ=2的线性无关的特征向量. 当λ=6时,由(6E-A)x=0,[*] 其基础解系为α
3
=(1,-2,3)
T
,即为矩阵A属于特征值λ=6的特征向量. 那么,令P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*],则有P
-1
AP=B.
解析
B是对角矩阵,那么A与B相似时的矩阵P就是由A的线性无关的特征向量所构成,求矩阵P也就是求A的特征向量.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xlF4777K
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考研数学三
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