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  3. 求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形． 求可逆矩阵P，使P-1AP=B．

求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形． 求可逆矩阵P，使P-1AP=B．

admin2013-03-29  32
问题 求一个正交变换，化二次型
f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形．
求可逆矩阵P，使P-1AP=B．
选项
答案因为A～B，A与B有相同的特征值，故矩阵A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6． 当λ=2时，由(2E-A)x=0，[*] 得到基础解系为α1=(-1，1，0)T，α2=(1，0，1)T，即为矩阵A的属于特征值λ=2的线性无关的特征向量． 当λ=6时，由(6E-A)x=0，[*] 其基础解系为α3=(1，-2，3)T，即为矩阵A属于特征值λ=6的特征向量． 那么，令P=(α1，α2，α3)=[*]，则有P-1AP=B．
解析 B是对角矩阵，那么A与B相似时的矩阵P就是由A的线性无关的特征向量所构成，求矩阵P也就是求A的特征向量．
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考研数学三

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