求一个正交变换,化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形. 求可逆矩阵P,使P-1AP=B.

admin2013-03-29  27

问题 求一个正交变换,化二次型
f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形.
求可逆矩阵P,使P-1AP=B.

选项

答案因为A~B,A与B有相同的特征值,故矩阵A的特征值是λ12=2,λ3=6. 当λ=2时,由(2E-A)x=0,[*] 得到基础解系为α1=(-1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,即为矩阵A的属于特征值λ=2的线性无关的特征向量. 当λ=6时,由(6E-A)x=0,[*] 其基础解系为α3=(1,-2,3)T,即为矩阵A属于特征值λ=6的特征向量. 那么,令P=(α1,α2,α3)=[*],则有P-1AP=B.

解析 B是对角矩阵,那么A与B相似时的矩阵P就是由A的线性无关的特征向量所构成,求矩阵P也就是求A的特征向量.
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