设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关． (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

admin2016-07-11 42

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性相关，向量组α₂，α₃，α₄线性无关．
(1)α₁能否由α₂，α₃线性表示?证明你的结论．
(2)α₄能否由α₁，α₂，α₃线性表示?证明你的结论．

选项

答案 (1)能．证明：α₂，α₃，α₄线性无关，故α₂，α₃也线性无关．又α₁，α₂，α₃线性相关，故存在不全为零的数k₁，k₂，k₃，使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0．且k₁≠0(否则k₂=k₃=0)．故[*]即α₁能由α₂，α₃线性表示． (2)不能．证明：假设α₄能由α₁，α₂，α₃线性表示，于是向量组α₁，α₂，α₃与α₁，α₂，α₃，α₄等价，得秩(α₁，α₂，α₃)=秩(α₁，α₂，α₃，α₄)=秩(α₂，α₃，α₄)=3，得α₁，α₂，α₃线性无关，矛盾，故α₄不能由α₁，α₂，α₃线性表示．

解析

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线性代数（经管类）

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设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关． (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

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