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设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关． (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．
设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关． (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．
admin
2016-07-11
57
问题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性相关，向量组α
2
，α
3
，α
4
线性无关．
(1)α
1
能否由α
2
，α
3
线性表示?证明你的结论．
(2)α
4
能否由α
1
，α
2
，α
3
线性表示?证明你的结论．
选项
答案
(1)能． 证明：α
2
，α
3
，α
4
线性无关，故α
2
，α
3
也线性无关． 又α
1
，α
2
，α
3
线性相关，故存在不全为零的数k
1
，k
2
，k
3
，使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0． 且k
1
≠0(否则k
2
=k
3
=0)． 故[*]即α
1
能由α
2
，α
3
线性表示． (2)不能． 证明：假设α
4
能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，于是向量组α
1
，α
2
，α
3
与α
1
，α
2
，α
3
，α
4
等价，得秩(α
1
，α
2
，α
3
)=秩(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=秩(α
2
，α
3
，α
4
)=3，得α
1
，α
2
，α
3
线性无关，矛盾，故α
4
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xlyR777K
本试题收录于：
线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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