2. 自考
  3. 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关． (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关． (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

admin2016-07-11  73
问题 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关．
    (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论．
(2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．
选项
答案 (1)能． 证明：α2，α3，α4线性无关，故α2，α3也线性无关． 又α1，α2，α3线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0． 且k1≠0(否则k2=k3=0)． 故[*]即α1能由α2，α3线性表示． (2)不能． 证明：假设α4能由α1，α2，α3线性表示，于是向量组α1，α2，α3与α1，α2，α3，α4等价，得秩(α1，α2，α3)=秩(α1，α2，α3，α4)=秩(α2，α3，α4)=3，得α1，α2，α3线性无关，矛盾，故α4不能由α1，α2，α3线性表示．
解析
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