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设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关. (1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关. (1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.
admin
2016-07-11
32
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,向量组α
2
,α
3
,α
4
线性无关.
(1)α
1
能否由α
2
,α
3
线性表示?证明你的结论.
(2)α
4
能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?证明你的结论.
选项
答案
(1)能. 证明:α
2
,α
3
,α
4
线性无关,故α
2
,α
3
也线性无关. 又α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故存在不全为零的数k
1
,k
2
,k
3
,使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0. 且k
1
≠0(否则k
2
=k
3
=0). 故[*]即α
1
能由α
2
,α
3
线性表示. (2)不能. 证明:假设α
4
能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,于是向量组α
1
,α
2
,α
3
与α
1
,α
2
,α
3
,α
4
等价,得秩(α
1
,α
2
,α
3
)=秩(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=秩(α
2
,α
3
,α
4
)=3,得α
1
,α
2
,α
3
线性无关,矛盾,故α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xlyR777K
本试题收录于:
线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
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