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设α1,…,αn为n个m维向量,且m<n.证明:α1,…,αn线性相关.
设α1,…,αn为n个m维向量,且m<n.证明:α1,…,αn线性相关.
admin
2022-11-04
42
问题
设α
1
,…,α
n
为n个m维向量,且m<n.证明:α
1
,…,α
n
线性相关.
选项
答案
方法一:向量组α
1
,…,α
n
线性相关的充分必要条件是方程组x
1
α
1
+…+x
n
α
n
=0有非零解,因为方程组x
1
α
1
+…+x
n
α
n
=0中变量有n个,约束条件最多有m个且m<n,所以方程组x
1
α
1
+…+x
n
α
n
=0一定有自由变量,即方程组有非零解,故向量组α
1
,…,α
n
线性相关.方法二:令A=(α
1
,…,α
n
),r(A)≤min{m,n}=m<n,因为矩阵的秩与矩阵的行向量组与列向量组的秩相等,所以向量组α
1
,…,α
n
的秩不超过m,于是向量组α
1
,…,α
n
线性相关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yTgD777K
0
考研数学三
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