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  3. 设α1，…，αn为n个m维向量，且m＜n．证明：α1，…，αn线性相关．

设α1，…，αn为n个m维向量，且m＜n．证明：α1，…，αn线性相关．

admin2022-11-04  38
问题 设α1，…，αn为n个m维向量，且m＜n．证明：α1，…，αn线性相关．
选项
答案方法一：向量组α1，…，αn线性相关的充分必要条件是方程组x1α1+…+xnαn=0有非零解，因为方程组x1α1+…+xnαn=0中变量有n个，约束条件最多有m个且m＜n，所以方程组x1α1+…+xnαn=0一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组α1，…，αn线性相关．方法二：令A=(α1，…，αn)，r(A)≤min{m，n}=m＜n，因为矩阵的秩与矩阵的行向量组与列向量组的秩相等，所以向量组α1，…，αn的秩不超过m，于是向量组α1，…，αn线性相关．
解析
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考研数学三

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