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设函数f(x)存闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3. 证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2.
设函数f(x)存闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3. 证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2.
admin
2012-02-21
90
问题
设函数f(x)存闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3.
证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f’(ξ)+f’(η)=ξ
2
+η
2
.
选项
答案
f’(ξ)+f’(η)=ξ
2
+η
2
f’(ξ)-ξ
2
=η
2
-f’(η),由于f’(ξ)-ξ
2
是函数F(x)=f(x)-x
3
/3的导函数F’(x)-f(x)-x
2
在ξ处的值,而η
2
-f’(η)是函数G(x)=x
3
/3-f(x)的导函数G’(x)=x
2
-f(x)在x=η处的值,可见需要在Ⅸ间[0,1/2],把拉格朗日中值定理用于函数F(x),在区间[1/2,1]上把拉格朗日中值定理用于函数G(x).即 [*]
解析
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考研数学三
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