设函数f(x)存闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1/3．证明：存在ξ∈(0，1/2)，η∈(1/2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2．

admin2012-02-21 141

问题设函数f(x)存闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1/3．
证明：存在ξ∈(0，1/2)，η∈(1/2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ²+η²．

选项

答案f’(ξ)+f’(η)=ξ²+η² f’(ξ)-ξ²=η²-f’(η)，由于f’(ξ)-ξ²是函数F(x)=f(x)-x³/3的导函数F’(x)-f(x)-x²在ξ处的值，而η²-f’(η)是函数G(x)=x³/3-f(x)的导函数G’(x)=x²-f(x)在x=η处的值，可见需要在Ⅸ间[0，1/2],把拉格朗日中值定理用于函数F(x)，在区间[1/2，1]上把拉格朗日中值定理用于函数G(x)．即 [*]

解析

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考研数学三

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