2. 考研
  3. 设函数f(x)存闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1/3． 证明：存在ξ∈(0，1/2)，η∈(1/2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2．

设函数f(x)存闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1/3． 证明：存在ξ∈(0，1/2)，η∈(1/2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2．

admin2012-02-21  58
问题 设函数f(x)存闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1/3．
证明：存在ξ∈(0，1/2)，η∈(1/2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2．
选项
答案f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2 f’(ξ)-ξ2=η2-f’(η)，由于f’(ξ)-ξ2是函数F(x)=f(x)-x3/3的导函数F’(x)-f(x)-x2在ξ处的值，而η2-f’(η)是函数G(x)=x3/3-f(x)的导函数G’(x)=x2-f(x)在x=η处的值，可见需要在Ⅸ间[0，1/2],把拉格朗日中值定理用于函数F(x)，在区间[1/2，1]上把拉格朗日中值定理用于函数G(x)．即 [*]
解析
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考研数学三

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