若方程a。xn＋a1xn－1＋…＋aa－1x＝0有一个正根x＝x。，证明方程a。nxn－1＋a1(n－1)xn－2＋…＋an－1＝0必有一个小于x。的正根．

admin2011-11-19 52

问题若方程a。xⁿ＋a₁x^n－1＋…＋a_a－1x＝0有一个正根x＝x。，证明方程a。nx^n－1＋a1(n－1)x^n－2＋…＋a_n－1＝0必有一个小于x。的正根．

选项

答案证：设f(x)＝a。xⁿ＋a₁x^n－1＋…＋a_n－1x，则f(x)连续、可导．根据条件，有f(x。)＝0(x。＞0)．又f(0)＝0，故由罗尔定理得知，存在ε∈(0，x。)，使得fˊ(ε)＝0，即方程a。nx^n－1＋a₁(n－1)x^n－1＋…＋a_n－1＝0有一个小于x。的正根ε．

解析

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