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设实对称矩阵 ,求可逆矩阵P,使P-1AP为对角形矩阵,并计算行列式丨A-E丨的值.
设实对称矩阵 ,求可逆矩阵P,使P-1AP为对角形矩阵,并计算行列式丨A-E丨的值.
admin
2013-03-29
62
问题
设实对称矩阵
,求可逆矩阵P,使P
-1
AP为对角形矩阵,并计算行列式丨A-E丨的值.
选项
答案
由矩阵A的特征多项式 [*] 得到矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=a+1,λ
3
=a-2. 对于λ=a+1,由[(a+1)E-A]x=0.[*] 得到2个线性无关的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
. 对于λ=a-2,由[(a-2)E-A]x=0,[*] 得到特征向量α
3
=(-1,1,1)
T
. 那么,令P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*]有P
-1
AP=A=[*] 因为A的特征值是a+1,a+1,a-2,故A-E的特征值是a,a,a-3.所以 丨A-E丨=a
2
(a-3),
解析
实对称矩阵必可相似对角化,对于p
-1
AP=A,其叶A的对角线上的元素是A的全部特征值,P的每一列是A的对应特征值的特征向量.故应从求特征值、特征向量入手.
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考研数学三
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