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  3. 设实对称矩阵 ，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵，并计算行列式丨A-E丨的值．

设实对称矩阵 ，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵，并计算行列式丨A-E丨的值．

admin2013-03-29  58
问题 设实对称矩阵
，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵，并计算行列式丨A-E丨的值．
选项
答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得到矩阵A的特征值为λ1=λ2=a+1，λ3=a-2． 对于λ=a+1，由[(a+1)E-A]x=0.[*] 得到2个线性无关的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T． 对于λ=a-2，由[(a-2)E-A]x=0，[*] 得到特征向量α3=(-1，1，1)T． 那么，令P=(α1，α2，α3)=[*]有P-1AP=A=[*] 因为A的特征值是a+1，a+1，a-2，故A-E的特征值是a，a，a-3．所以 丨A-E丨=a2(a-3)，
解析 实对称矩阵必可相似对角化，对于p-1AP=A，其叶A的对角线上的元素是A的全部特征值，P的每一列是A的对应特征值的特征向量．故应从求特征值、特征向量入手．
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考研数学三

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