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如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m,要求通行车辆限高5m,隧道全长2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为3米,隧道上部拱线近似地看成半个椭圆. 若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小,则应如何设计拱高h的拱宽l? (已知:椭圆的面积
如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m,要求通行车辆限高5m,隧道全长2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为3米,隧道上部拱线近似地看成半个椭圆. 若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小,则应如何设计拱高h的拱宽l? (已知:椭圆的面积
admin
2018-10-10
70
问题
如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m,要求通行车辆限高5m,隧道全长2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为3米,隧道上部拱线近似地看成半个椭圆.
若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小,则应如何设计拱高h的拱宽l?
(已知:椭圆
的面积公式为s=πab,柱体体积为底面积乘以高.)
选项
答案
要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小,由柱体的体积公式可知:只需半椭圆的面积最小即可.由椭圆方程 [*] 因为[*] 即ab≥40, 所以半椭圆面积 [*] 当S取最小值时,有 [*] 此时[*] 故当拱高为[*]、拱宽为[*]时,隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小.
解析
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中学数学
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