如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2．5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h的拱宽l? (已知：椭圆的面积

admin2018-10-10 85

问题如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2．5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h的拱宽l?
(已知：椭圆

的面积公式为s=πab，柱体体积为底面积乘以高．)

选项

答案要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可．由椭圆方程 [*] 因为[*] 即ab≥40，所以半椭圆面积 [*] 当S取最小值时，有 [*] 此时[*] 故当拱高为[*]、拱宽为[*]时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小．

解析

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中学数学

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