(2016国家75)将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成64个棱长为1厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长为4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大。问大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的?

admin2018-09-27 57

问题 (2016国家75)将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成64个棱长为1厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长为4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大。问大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的?

选项 A、84
B、88
C、92
D、96

答案B

解析按题意切割后，得到4面被涂的正方体4个(原长方体4角)、3面被涂的正方体4×(8—2)=24个(原长方体四棱)、2面被涂的正方体(互为对立面)64—4—24=36个。现要求大正方体外露涂黑面积尽可能大，需将被涂黑面较多的小正方体放于大正方体表面，已知大正方体表面露出3面的小正方体有8个(正方体4角)，露出2面的小正方体有12×2=24个，12条棱露出2面的各2个小正方体，露出1面的小正方体有6×4=24个，每个面有4个露出1面的小正方体，共6面。将4个4面被涂黑的小正方体放于大正方体4角，4个3面被涂黑的置于另外4角，贡献面积=4×3+4×2=20 cm²；剩下20个3面被涂黑的小正方体置于12条棱上，贡献20×2=40cm²；棱上还剩下4个空位置与面上剩下24个空位置需要填充，全部用两面被涂黑的小正方体，贡献24+4=28cm²，故总面积为20+40+28=88cm²。故正确答案为B。

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