2. 考研
  3. 设f(χ)连续，且F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt．证明： (1)若f(χ)是偶函数，则F(χ)为偶函数； (2)若f(χ)单调不增，则F(χ)单调不减．

设f(χ)连续，且F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt．证明： (1)若f(χ)是偶函数，则F(χ)为偶函数； (2)若f(χ)单调不增，则F(χ)单调不减．

admin2017-09-15  64
问题 设f(χ)连续，且F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt．证明：
    (1)若f(χ)是偶函数，则F(χ)为偶函数；
    (2)若f(χ)单调不增，则F(χ)单调不减．
选项
答案(1)设f(－χ)＝f(χ)， 因为F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt[*]∫0χ(－χ＋2u)f(－u)(－du) ＝∫0χ(χ－2u)f(u)du＝F(χ) 所以F(χ)为偶函数． (2)F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt＝χ∫0χf(t)dt＝2∫0χtf(t)dt， F′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]，其中ξ介于0与χ之间， 当χ＜0时，χ≤ξ≤0，因为f(χ)单调不增，所以F′(χ)≥0， 当χ≥0时，0≤ξ≤χ，因为f(χ)单调不增，所以F′(χ)≥0， 从而F(χ)单调不减．
解析
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考研数学二

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