设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0．证明｛an｝为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*都有.

admin2016-06-27 67

问题设数列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一项都不为0．证明｛a_n｝为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N^*都有

选项

答案证明：先证必要性．设数列{a_n}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．若d≠0．则 [*] 将①代入②，得[*]，在该式两端同乘a₁a_ka_k+1得，(k－1)a_k+1+a₁=ka_k．将a_k=a₁+(k－1)d代入其中，整理，得a_k+1=a₁+kd．由数学归纳法原理知，对一切n∈N^*，都有a_n=a₁+(n－1)d．所以{a_n}是公差为d的等差数列．综上所述，{a_n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N^*，都有[*] [*]

解析

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