设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N*都有.

admin2016-06-27  38

问题 设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N*都有.

选项

答案证明:先证必要性. 设数列{an}的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立. 若d≠0.则 [*] 将①代入②,得[*], 在该式两端同乘a1akak+1得,(k-1)ak+1+a1=kak. 将ak=a1+(k-1)d代入其中,整理,得ak+1=a1+kd. 由数学归纳法原理知,对一切n∈N*,都有an=a1+(n-1)d. 所以{an}是公差为d的等差数列. 综上所述,{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N*,都有[*] [*]

解析
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