设u=f(x,y)为可微函数. (1)若u=f(x,y)满足方程=0,试证:f(x,y)在极坐标系中只是θ的函数,而与r无关. (2)若u=f(x,y)满足方程=0,试证:f(x,y)在极坐标系中只是r的函数,而与θ无关.

admin2017-07-26  44

问题 设u=f(x,y)为可微函数.
    (1)若u=f(x,y)满足方程=0,试证:f(x,y)在极坐标系中只是θ的函数,而与r无关.
    (2)若u=f(x,y)满足方程=0,试证:f(x,y)在极坐标系中只是r的函数,而与θ无关.

选项

答案在极坐标系中,u=f(x,y)的表达式为u=f(rcosθ,rsinθ). (1)要证明函数u在极坐标系下与r无关,只需证明u对r的偏导数为0即可. 因为 [*] =0, 由此可见,u只是θ的函数,而与r无关. (2)同理,由于 [*] =0. 由此可见,u只是r的函数,而与θ无关.

解析 要证明一个多元函数与其某一个自变量无关,只需证明该函数对此自变量的偏导数恒为0即可.
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