[2013年] 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

admin2019-05-16  48

问题 [2013年]  设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记

若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22

选项

答案因α,β为单位向量且相互正交,有 βTα=αTβ=0,[*] 故αTβ=1,βTβ=1.因而 Aα=(2ααT+ββT)α=2α(αTα)+β(βTα)=2α‖α‖+β(βTα)=2α, 即α为A的属于特征值λ1=2的特征向量. Aβ=(2ααT+ββT)β=2α(αTβ)+β(βTβ)=2α·0+β·1=β, 即β为A的属于特征值λ2=1的特征向量. 又秩(A)=秩(2ααT+ββT)≤秩(2ααT)+秩(ββT)≤秩α+秩β=1+1=2<3,则A的第三个特征值为λ2=0. 故f在正交变换下的标准形为2y12+y22

解析
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