2. 考研
  3. 在过O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O(0，0)到A(π，0)的积分I(A)=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．

在过O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O(0，0)到A(π，0)的积分I(A)=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．

admin2023-03-22  3
问题 在过O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O(0，0)到A(π，0)的积分I(A)=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．
选项
答案由题意，有 I(A)=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy =∫0π[1+a3sin3x+(2x+asinx)acosx]dx =π-4a+[*]a3． 从而I’(A)=-4+4a2．令I’(A)=0，得a=1，a=-1(舍去)，且a=1是I(A)在(0，+∞)内的唯一驻点．而 I’’(A)=8a，I’’(1)=8＞0． 所以，I(A)在a=1处取得最小值．因此所求曲线为 y=sinx (0≤x≤2π)．
解析
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考研数学三

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