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  3. 设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．

设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．

admin2017-05-10  66
问题 设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．
选项
答案必要性．对矩阵A按列分块A=(α1,α2，…，αn)，则[*]，Ax=b有解→α1,α2，…，αn可表示任何n维向量b→α1,α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(0，0，0，…，1)T→r(α1,α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en) =n→ r(A) =n． 所以｜A｜≠0．充分性．由克莱姆法则，行列式｜A｜≠0时方程组必有唯一解，故[*]，Ax=b总有解．
解析
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考研数学三

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