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设A是n阶矩阵,证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是|A|≠0.
设A是n阶矩阵,证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是|A|≠0.
admin
2017-05-10
100
问题
设A是n阶矩阵,证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是|A|≠0.
选项
答案
必要性.对矩阵A按列分块A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),则[*],Ax=b有解→α
1
,α
2
,…,α
n
可表示任何n维向量b→α
1
,α
2
,…,α
n
可表示e
1
=(1,0,0,…,0)
T
,e
2
=(0,1,0,…,0)
T
,…,e
n
=(0,0,0,…,1)
T
→r(α
1
,α
2
,…,α
n
)≥r(e
1
,e
2
,…,e
n
) =n→ r(A) =n. 所以|A|≠0.充分性.由克莱姆法则,行列式|A|≠0时方程组必有唯一解,故[*],Ax=b总有解.
解析
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考研数学三
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