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设C1和C2是两个任意常数,则函数y=ex(C1 cos2x+C2 sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解.
设C1和C2是两个任意常数,则函数y=ex(C1 cos2x+C2 sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解.
admin
2019-03-11
102
问题
设C
1
和C
2
是两个任意常数,则函数y=e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解.
选项
A、y’’一2y’+5y=4cosx一2sinx
B、y’’一2y’+5y=4sinx一2cosx
C、y’’一5 y’+2y=4cosx一2sinx
D、y’’一5y’+2y=4sinx一2cosx
答案
B
解析
由二阶常系数线性微分方程通解的结构知,e
x
cos2x与e
x
sin2x是二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0两个线性无关的特解.从而特征方程λ
2
+aλ+b=0的两个特征根应分别是λ
1
=1+2i,λ
2
=1—2i,由此可得λ
2
+aλ+b=(λ一1—2i)(λ一1+2i)=(λ一1)
2
一(2i)
2
=λ
2
—2λ+1+4=λ
2
—2λ+5,即a=一2,b=5.
由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知sinx应是非齐次方程y’’一2y’+5y=f(x)的一个特解,故f(x) =(sinx)’’一2(sinx)’+5 sinx=4sinx一2cosx.
综合即得所求方程为y’’一2y’+5y=4sinx一2cosx.应选(B).
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考研数学三
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