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  3. 已知二次型XTAX=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是______．

已知二次型XTAX=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是______．

admin2019-05-14  62
问题 已知二次型XTAX=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是______．
选项
答案3y12-6y32
解析 求二次型XTAX在正交变换下的标准形也就是求二次型的矩阵A的特征值．由于

由(2，1，2)T是A的特征向量，有

解得a=b=2，λ1=3．
由秩为2知｜A｜=0，于是λ2=0是A的特征值，再由，有1+(-5)+1=3+0+λ3，
则λ3=-6是A的特征值．因此，正交变换下二次型的标准形是3y12-6y32．
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考研数学一

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