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已知二次型XTAX=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2,(2,1,2)T是A的特征向量,那么经正交变换二次型的标准形是______.
已知二次型XTAX=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2,(2,1,2)T是A的特征向量,那么经正交变换二次型的标准形是______.
admin
2019-05-14
46
问题
已知二次型X
T
AX=x
1
2
-5x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
2
x
3
+2x
1
x
3
的秩为2,(2,1,2)T是A的特征向量,那么经正交变换二次型的标准形是______.
选项
答案
3y
1
2
-6y
3
2
解析
求二次型X
T
AX在正交变换下的标准形也就是求二次型的矩阵A的特征值.由于
由(2,1,2)
T
是A的特征向量,有
解得a=b=2,λ
1
=3.
由秩为2知|A|=0,于是λ
2
=0是A的特征值,再由
,有1+(-5)+1=3+0+λ
3
,
则λ
3
=-6是A的特征值.因此,正交变换下二次型的标准形是3y
1
2
-6y
3
2
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0a04777K
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考研数学一
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