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对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量 试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．
对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量 试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．
admin
2016-09-19
60
问题
对于任意二事件A
1
，A
2
，考虑二随机变量
试证明：随机变量X
1
和X
2
独立的充分必要条件是事件A
1
和A
2
相互独立．
选项
答案
记P
i
=P(A
i
)(i=1，2)，p
12
=P(A
1
A
2
)，而ρ是X
1
和X
2
的相关系数．易见，随机变量X
1
和X
2
都服从0-1分布，并且 P｛X
i
=1｝=P(A
i
)，P｛X
i
=0｝=P([*])，P｛X
1
=1，X
2
=1｝=P(A
1
A
2
)． (1)必要性．设随机变量X
1
和X
2
独立，则 P(A
1
A
2
)=P{X
1
=1，X
2
=1}=P｛X
1
=1｝P(X
2
=1)=P(A
1
)P(A
2
)． 从而，事件A
1
和A
2
相互独立． (2)充分性．设事件A
1
和A
2
相互独立，则[*]和A
2
，A
1
和[*]也都独立，故 P{X
1
=0，X
2
=0}=[*] =P｛X
1
=0｝P｛X
2
0｝， P｛X
1
=0，X
2
=1｝=[*] =P｛X
1
=0｝P｛X
2
=1｝， P｛X
1
=1，X
2
=0｝=[*] =P｛X
1
=1｝P｛X
2
=0｝， P｛X
1
=1，X
2
=1}=P(A
1
A
2
)=P(A
1
)P(A
2
) =P｛X
1
=1｝P｛X
2
=1｝． 从而，随机变量X
1
和X
2
相互独立．
解析
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0
考研数学三
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