2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0， 证明： (I)存在εi∈(a，b)，使得f(εi)＝f〞(εi)(i＝1，2)； (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝f〞(η)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0， 证明： (I)存在εi∈(a，b)，使得f(εi)＝f〞(εi)(i＝1，2)； (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝f〞(η)．

admin2014-05-19  44
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，
证明：
(I)存在εi∈(a，b)，使得f(εi)＝f〞(εi)(i＝1，2)；
(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝f〞(η)．
选项
答案(I)令F(x)＝[*]F(a)＝F(b)＝0， 由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得Fˊ(c)＝0，即f(c)＝0． 令h(x)＝e－xf(x)，则h(a)＝h(c)＝h(b)＝0， 由罗尔定理，存在ε1∈(a，c)，ε2∈(c，b)，使得hˊ(ε1)＝hˊ(ε2)＝0， 而hˊ(x)＝e－x[fˊ(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f(εi)＝fˊ(εi)(i＝1，2)． (Ⅱ)令H(x)＝ex[fˊ(x)－f(x)]，Hˊ(x)＝ex[f〞(x)－f(x)]． H(ε1)＝H(ε2)＝0，由罗尔定理，存在η∈(ε1，ε2)∈(a，b)，使得Hˊ(η)＝0， 注意到ex≠0，所以f(η)＝f〞(η)．
解析
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考研数学三

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