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  3. [2018年] 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数． 若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．

[2018年] 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数． 若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．

admin2019-04-08  53
问题 [2018年]  已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．
若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．
选项
答案由条件可得通解为 y(x)=e-∫1dx[∫f(x)e∫1dx+C]=e-x∫f(x)exdx+C)(C为任意常数)． y(x+T)=e-(x+T)∫(x+T)ex+Tdx+Ce-(x+T) =eT·e-x(∫f(x)ex·eTdx+C) =e-T·e-x·eT(∫f(x)exdx+C1) =e-x(∫f(x)exdx+C1)， 欲使y(x)为周期函数，即y(x)=y(x+T)，只需C1=C·e-T，再由e-T＞0，得C=0． 所以，y(x)=e-x∫f(x)edx为方程对应的解，且为周期函数．
解析
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考研数学一

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