首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知三元二次型 f(x1,x2,x3)=XTAX, 矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换; (2)求出此二次型; (3)若β=[4,一1,0]T,求Anβ.
已知三元二次型 f(x1,x2,x3)=XTAX, 矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换; (2)求出此二次型; (3)若β=[4,一1,0]T,求Anβ.
admin
2016-01-25
92
问题
已知三元二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX,
矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中
(1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换;
(2)求出此二次型;
(3)若β=[4,一1,0]
T
,求A
n
β.
选项
答案
(1)令β=[α
1
,α
2
,α
3
],α
i
为B的列向量,显然α
1
,α
2
线性无关,α
3
=α
1
+α
2
,因而 r(B)=2,由AB=-B得到 A[α
1
,α
2
,α
3
]=一[α
1
,α
2
,α
3
], 即 Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=-α
2
,Aα
3
=-α
3
因α
1
,α
2
线性无关,故属于特征值一1的有两个线性无关的特征向量,所以λ
1
=λ
2
=一1为二重特征值.又因A的主对角线上的元素之和为λ
1
+λ
2
+λ
3
=3,故另一特征值为λ
3
=5. 设属于λ
3
=5的特征向量为α=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则 αα
1
T
=0,αα
2
T
=0 解 [*] 因 [*] 故 α=[1,1,1]
T
对α
1
,α
2
进行施密特正交化得到 [*] 再将β
1
,β
2
,β
3
单位化,得到 [*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵,且经正交变换X=QY后,二次型的标准形为 [*] (2)由 Q
-1
AQ=Q
T
AQ=[*] 得到 [*] 故 f=A
T
AX=[*]+4x
1
x
2
+4x
2
x
3
+4x
1
x
3
. (3)设 β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
解得 k
1
=3,k
2
=-2,k
3
=1. 因此 β=3α
1
-2α
2
+α,而Aα
1
=-α
1
,Aα
2
=-α
2
,Aα=5α 故 A
n
β=A
n
(3α
1
-2α
2
+α)=3A
n
α
1
-2A
n
α
2
+A
n
α =3(-1)
n
α
1
-2(-1)
n
α
2
+5
n
α [*]
解析
先由AB=-B,B=[α
1
,α
2
,α
3
]得到Aα
i
=-α
i
(i=1,2,3),从而求出A的部分特征值及其特征向量.再由主对角元素之和为3即可求出A的全部特征值.再由特征向量正交,求出其余的特征向量,再正交单位化,即可得到正交变换矩阵Q,从而可求出A,将β写成特征向量的线性组合即可求出A
n
β
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1KU4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
经济全球化是当今世界经济发展的大趋势,各国、各地区的技术、资本、商品等真正实现了全球范围内的流动,各国之间的经济联系日益密切。下列对于经济全球化的正确认识是
真理的力量加上道义的力量,才能行之久远。社会主义核心价值观居于人类社会的价值制高点,具有强大的道义力量,这源于
社会意识形式有意识形态和非意识形态之分。下列属于意识形态的是
社会主义与市场经济的有机结合,是中国特色社会主义的重大理论和实践创新。社会主义市场经济理论相比于资本主义市场经济理论,不仅在理论上更站得住,而且在实践中行得更好,具有强大的生机与活力。社会主义市场经济理论的要点有
在甘肃皋兰的“世界第一古梨园”中有一棵407岁的古梨树,2016年因小孩玩火引燃古树,古树被烧得只剩下树皮。但神奇的是,古树不但没死,每年还能结果子。植物学家通过解剖实验揭秘了这种现象:“木质部导管,韧皮部筛管。筛管活细胞,导管死细胞。”也就是说,树木的中
中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平4月8日给武汉市东湖新城社区全体社区工作者回信,再次肯定城乡广大社区工作者在疫情防控斗争中发挥的重要作用,向他们致以诚挚的慰问,并勉励他们为彻底打赢疫情防控人民战争、总体战、阻击战再立新功。 习近平在回信中说
材料1 北京大学援鄂医疗队全体“90后”党员: 来信收悉。在新冠肺炎疫情防控斗争中,你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道,不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死,彰显了青春的蓬勃力量,交出了合格答卷。广大青年用行动证明,新时代的中国青年是好样的,
加工一个产品要经过三道工序,第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.9、0.95、0.8,若假定各工序是否出废品是独立的,求经过三道工序生产出的是废品的概率.
设n阶实对称矩阵A满足条件A2+6A+8E=O,且A+tE是正定矩阵,则t的取值范围为_______.
设0<a<1,证明:方程arctanx=ax在(0,+∞)内有且仅有一个实根.
随机试题
“永州八记”写于柳宗元被贬为________时,其首篇是《________》。
以下观点何项是《诸病源候论》提出的
男性,30岁。患出血坏死性胰腺炎2周,经治疗,高热不退,持续腹痛。体检:上腹扪及一块物。血淀粉酶1000U/L(Somogyi法),血白细胞14×109/L,中性粒细胞0.85(85%)。最可能的原因是
病理切片中见到绒毛结构的疾病不是流产后不规则流血,子宫内容物组织学检查为成团的滋养细胞,未见绒毛结构,诊断为
目前,各银行还根据个人需求提供个性化的还款方式及还款服务,较为常见的特色还款方式包括()。
日用小杂品的配送在现实生活中,往往都是采用()方法来向用户供货和发送货物的。
Sociologists(社会学家)tellusthatweareheadingforasocietyleisure.Thetrendisunmistakable.Onehundredyearsago,theypo
A、 B、 C、 D、 C确认图片中有孩子们和一位女士在公交车旁排成一队,同时公交车里面的男士正在看着他们。
A、Newspaperoflowprice.B、Newspaperwithattractiveheadline.C、Newspaperwithsportspage.D、Newspaperwithbusinesssection.
A、Theinterpersonalrelationship.B、Thehighpressure.C、Theservantsystem.D、Therapidprogress.B原文提到美国人对时间又爱又十艮,后面具体解释原因,答案依
最新回复
(
0
)