[2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y＂+y′一2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=________．

admin2019-05-10 87

问题 [2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y＂+y′一2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=________．

选项

答案先求方程的通解，再用y′(0)=0，y(0)=3确定任意常数．易知所给方程的特征方程为r²+r一2=(r+2)(r一1)=0，故特征根为r₁=一2，r₂=1，故其通解为 y=C₁e^-2x+C₂e^x ①．因y(x)在x=0处取得极值，故y′(0)=0，y(0)=3．将其代入通解①得到 y′(x)∣_x=0=[一2c₁e^-2x+c₂e^x]∣_x=0=一2c₁+C₂=0，y(0)=c₁+c₂=3，解之得c₁=1，c₂=2，故y=e^-2x+2e^x．

解析

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考研数学二

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