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  3. 设f(x)二阶可导，,且f(1）=1，证明：存在ε∈（0，1），使得 f"(ε)-2f’(ε)=-2.

设f(x)二阶可导，,且f(1）=1，证明：存在ε∈（0，1），使得 f"(ε)-2f’(ε)=-2.

admin2019-05-27  65
问题 设f(x)二阶可导，,且f(1）=1，证明：存在ε∈（0，1），使得
f"(ε)-2f’(ε)=-2.
选项
答案[*]得f(0)=0,f’(0)=1；由拉格朗日中值定理，存在c∈(0,1),使得 f’(c)=[*]=1,令φ（x)=e-2x[f’(x)-1],φ(0)=φ(c)=0, 由罗尔定理，存在ε∈（0，c)?(0,1)使得φ’（ε）=0， 而φ’（x)=-2e-2x[f’(x）-1]+e-2xf"(x)=e-2x[f"(x)-2f’(x）+2],且e-2x≠0, 故f"（ε）-2f’（ε）=-2.
解析
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考研数学二

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