设f(x)为连续的奇函数，F(x)=∫0xf(t)cos tdt+∫0xdt/(1+t2)，且F(1)=π，则F(-1)=( )

admin2022-05-20 42

问题设f(x)为连续的奇函数，F(x)=∫₀^xf(t)cos tdt+∫₀^xdt/(1+t²)，且F(1)=π，则F(-1)=( )

选项 A、π
B、-π
C、π／2
D、-π／2

答案C

解析由已知，有
F(-1)=∫₀^-1f(t)cos tdt+∫₀^-1dt/(1+t²
=∫₀^-1f(t)cos tdt+arctan t|₀^-1
=-π/4+∫₀^-1f(t)cos tdt
同理，有F(1)=π/4+∫₀¹f(t)cos tdt，故
F(1)-F(-1)=π/2+∫_-1¹f(t)cos tdt=π/2+0=π/2．
从而
F(-1)=F(1)-π/2=π-π/2=π/2．
C正确．

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