2. 考研
  3. 设函数f(χ)与g(χ)都在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．求证：存在ξ∈(0，)与η∈(，1)使得f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．

设函数f(χ)与g(χ)都在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．求证：存在ξ∈(0，)与η∈(，1)使得f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．

admin2018-06-12  80
问题 设函数f(χ)与g(χ)都在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．求证：存在ξ∈(0，)与η∈(，1)使得f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．
选项
答案把ξ与η分离至等式两端可得 f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)[*]f′(ξ)－g′(ξ)＝－f′(η)＋g′(η) [*][f(χ)－g(χ)]′｜χ＝ξ＝－[f(χ)－g(χ)]′｜χ＝η 对函数F(χ)＝f(χ)－g(χ)应用拉格朗日中值定理，由于F(χ)在[0，[*]]上连续，在(0，[*]]内可导，故存在ξ∈(0，[*])使得 [*] 又由于F(χ)在[[*]，1]上连续，在[[*]，1)内可导，故存在η∈([*]，1)使得 [*] 将①式与②式相加，即知存在ξ∈(0，[*])与η∈([*]，1)使得 0＝[*][f′(ξ)－g′(ξ)]＋[*][f′(η)－g′(η)] [*]f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．
解析
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考研数学一

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