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  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(2)，试证：存在一点ξ∈(0，2)，使得f’’(ξ)=0．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(2)，试证：存在一点ξ∈(0，2)，使得f’’(ξ)=0．

admin2017-05-31  30
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(2)，试证：存在一点ξ∈(0，2)，使得f’’(ξ)=0．
选项
答案由f(x)在[0，2]上连续及 [*] 由积分中值定理，存在点a∈[*]使得[*] 在[a，2]上f(x)满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在一点b∈(a，2)，使得f’(b)=0，又f’(x)在[a，b]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点ξ∈(a，b)[*](0，2)，使f’’(ξ)=0．
解析 要证f’’(ξ)=0，对f(x)可用两次洛尔定理来证明．用两次洛尔定理的关键是在[0，2]内构造使f(a)=f(2)的区间和使f’(b)=f’(c)的区间[a，2]与[b，c]．[a，2]可由积分中值定理得到，[b，c]可由已知极限和洛尔定理获得．
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考研数学一

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