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  3. 若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．

若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．

admin2013-03-19  102
问题 若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．
选项
答案y=-xex+x+2．
解析 由通解表达式    该二阶线性常系数齐次方程的特征根为λ1=λ2=1，于是特征方程为
(λ-1)2 =λ2-2λ+1=0
该齐次方程为y"-2y’+y=0  (即a=-2，b=1)．
又非齐次方程y"-2y’+y=x    (*)
有特解y* =ax+β，代人(*)式得
-2a+ax+β=x      a=1，β=2．
因此(*)有通解y=(C1+C2x)ex+x+2．
再由初条件y(0)=C1+2=2，y’(0)=C1+C2+1=0，
C1=0，C2=-1．因此所求的解为y=-xex+x+2．
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