求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

admin2020-03-05 34

问题

求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

选项

答案令α^Tβ=k，则A²=kA，设AX=λX，则A²X=λ²X=kλX，即λ(λ—k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．由λ₁+…+λ₂=tr(A)且tr(A)=k得λ₁=…=λ_n-1=0，λ_n=k．因为r(A)=1，所以方程组(0E—A)X=0的基础解系含有n一1个线性无关的解向量，即λ=0有n一1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．

解析

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