2. 考研
  3. 设平面图形D由摆线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)，0≤t≤2兀，a>0的第一拱与x轴围成，求该图形D对y轴的面积矩My．

设平面图形D由摆线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)，0≤t≤2兀，a>0的第一拱与x轴围成，求该图形D对y轴的面积矩My．

admin2018-07-23  95
问题 设平面图形D由摆线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)，0≤t≤2兀，a>0的第一拱与x轴围成，求该图形D对y轴的面积矩My．
选项
答案题中所给的D是一个以摆线一拱 x=a(t－sint)，y= a(1－cost)，0≤t≤2π,a>0 为上边界，x轴为下边界，从x=0到x=2πa的曲边梯形．取竖条，其面积微元为ydx，它对y轴的面积为xydx，所以D对y轴的面积矩为 My=∫02πa xydx． (*) 现在按此公式求My． 将摆线表达式代入式(*)，可以看成将积分变量由x换成t，得 My=∫02πa xydx=∫02πa3(t－sint)(1－cost)2dt =a3∫02πt(1－cost)2dt－a3∫02π sint·(1－cost)2dt [*] 其中 I1=∫02πt(1－cost)2dt， I2=∫02πsint·(1－cost)2dt． 现用一个巧妙的办法计算I1，令t=2π－u，则 I1=∫02π(2π－u) (1－cosu)2(－du) =∫02π2π(1－cosu)2du－∫02πu(1－cosu)2du， 故 2I1=∫02π2π(1－cosu)2du， [*] 所以 My=3a2π2．
解析
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考研数学二

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