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  3. 二阶微分方程y’’=e2y，满足条件y(0)=0，y’(0)=1的特解是y=________．

二阶微分方程y’’=e2y，满足条件y(0)=0，y’(0)=1的特解是y=________．

admin2022-04-08  75
问题 二阶微分方程y’’=e2y，满足条件y(0)=0，y’(0)=1的特解是y=________．
选项
答案一ln(1一x)．
解析 题设的二阶微分方程不显含自变量x，令y’=P并以y为自变量可降阶为关于P的一阶微分方程．注意当令y’=P时,．代入原方程即得，把它改写为=2e2y，分离变量有2pdp=2e22ydy，积分即得其通解为P2=e2y+C．利用题设的初值知当y=0时P=1，由此可确定常数C=0．于是得到新方程P2=e2y，因为初值p=1>0，故可求p>0的解，即应解微分方程p=ey，即．分离变量可得e-ydy=dx，积分即得其通解为e-y=C1/sub>一x，即y=一In(C1—x)．利用初值y(0)=0可确定常数C1=1，故所求特解是y=一In(1一x)．【分析二】此二阶方程不显含x且不显含y将方程两边同乘y’得y’y’’=e2yy’，即积分得y12=e2y+C1由y(0)=0，y’(0)=1，定出C1=0．因y’(0)=1>0，故可求y’>0的解y’=ey，其余同【分析一】可求出y=一ln(1一x)．
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考研数学二

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