2. 考研
  3. 设f(x)连续且f(x)／x=2，φ(x)=∫01f(xt)dt，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．

设f(x)连续且f(x)／x=2，φ(x)=∫01f(xt)dt，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．

admin2018-06-15  24
问题 设f(x)连续且f(x)／x=2，φ(x)=∫01f(xt)dt，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．
选项
答案φ(x)的表达式中，积分号内含参变量戈，通过变量替换转化成变限积分． x≠0时，φ(x)=1／x∫01f(xt)d(xt)[*]1／x∫0xf(s)ds；x=0时，φ(0)=∫01f(0)=f(0)． 由f(x)在x=0连续及 [*] 求φ’(x)即求这个分段函数的导数，x≠0时与变限积分求导有关，x=0时可按定义求导． [*] 最后考察φ’(x)的连续性．显然，x≠0时φ’(x)连续，又 [*] =2－1=1=φ’(0) 即φ’(x)在x=0也连续，因此φ’(x)处处连续．
解析
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考研数学一

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