设f(x)在x＝0的邻域内连续可导，g(x)在x＝0的邻域内连续，且＝0，又f’(x)＝－2x2＋∫0xg(x－t)dt，则( )．

admin2018-01-23 40

问题设f(x)在x＝0的邻域内连续可导，g(x)在x＝0的邻域内连续，且

＝0，又f’(x)＝－2x²＋∫₀^xg(x－t)dt，则( )．

选项 A、x＝0是f(x)的极大值点
B、x＝0是f(x)的极小值点
C、(0,f(0))是曲线y＝f(x)的拐点
D、x＝0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y＝f(x)的拐点

答案C

解析由

＝0得g(0)＝g’(0)＝0，f’(0)＝0，
f’(x)＝－2x²＋∫₀^xg(x－t)dt＝－2x²－∫₀^xg(x－t)d(x－t)＝－2x²＋∫₀^xg(u)du，
f’’(x)＝－4x＋g(x)，f’’(0)＝0，f’’’(x)＝－4＋g’(x)，f’’’(0)＝－4＜0，
因为f’’’(0)＝

＝－4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，

＜0，从而当x∈(－δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0，选(C)．

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考研数学三

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