设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是________。

admin2017-12-29 54

问题设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+A^TA是正定阵，则a的取值范围是________。

选项

答案a＜0

解析 B^T=（一aE+A^TA）^T=一aE+A^TA=B}，故B是一个对称矩阵。
B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0，都有
x^TBx=x^T（一aE+A^TA）x=一ax^Tx+x^TA^TAx=一ax^Tx+（Ax）^TAx＞0，
其中（Ax）^T（Ax）≥0，x^Tx＞0，因此a的取值范围是一a＞0，即a＜0。

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