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求解下列微分方程： (1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0； (4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．
求解下列微分方程： (1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0； (4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．
admin
2016-01-11
53
问题
求解下列微分方程：
(1)(x
3
+xy
2
)dx+(x
2
y+y
3
)dy=0；
(4)(5x
4
+3xy
2
一y
3
)dx+(3x
2
y一3xy
2
+y
2
)dy=0．
选项
答案
(1)设P=x
3
+xy
2
，Q=x
2
y+y
3
，[*]此方程为全微分方程， u(x，y)=∫
(0,0)
(x,y)
(x
3
+xy
2
)dx+(x
2
y+y
3
)dy=∫
0
x
(x
3
+xy
2
)dx+∫
0
y
y
3
dy=[*] 从而通解为[*] (2)化为以[*]为未知函数，y为自变量的伯努利方程． [*] 原方程化为[*]=一xlnx，此为一阶线性方程，通解为δ=Cx+x
2
(1一lnx)，即原方程通解为[*] (4)方程为全微分方程，P=5x
4
+3xy
2
一y
3
，Q=3x
2
y一3xy
2
+y
2
， u(x，y)=∫
(0,0)
(x,y)
Pdx+Qdy=∫
0
x
5x
4
dx+∫
0
y
(3x
2
y-3xy
2
+y
2
)dy =[*] 故所求方程的解为[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2a34777K
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考研数学二
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