求解下列微分方程： (1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0； (4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．

admin2016-01-11 56

问题求解下列微分方程：
(1)(x³+xy²)dx+(x²y+y³)dy=0；

(4)(5x⁴+3xy²一y³)dx+(3x²y一3xy²+y²)dy=0．

选项

答案 (1)设P=x³+xy²，Q=x²y+y³，[*]此方程为全微分方程， u(x，y)=∫_(0,0)^(x,y)(x³+xy²)dx+(x²y+y³)dy=∫₀^x(x³+xy²)dx+∫₀^yy³dy=[*] 从而通解为[*] (2)化为以[*]为未知函数，y为自变量的伯努利方程． [*] 原方程化为[*]=一xlnx，此为一阶线性方程，通解为δ=Cx+x²(1一lnx)，即原方程通解为[*] (4)方程为全微分方程，P=5x⁴+3xy²一y³，Q=3x²y一3xy²+y²， u(x，y)=∫_(0,0)^(x,y)Pdx+Qdy=∫₀^x5x⁴dx+∫₀^y(3x²y-3xy²+y²)dy =[*] 故所求方程的解为[*]

解析

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