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  3. 设A，B均是m×n矩阵，则方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是( )

设A，B均是m×n矩阵，则方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是( )

admin2022-05-20  48
问题 设A，B均是m×n矩阵，则方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是(          )
选项 A、A，B的列向量组等价
B、A，B的行向量组等价
C、A，B是等价矩阵
D、ATx=0与BTx=0同解
答案B
解析 对于B，若Ax=0与Bx=0同解，考虑方程组

即A，B的行向量组等价，反之，若A，B的行向量组等价，记

即列向量组α1T，α2T，…，αmT与β1T，β2T，…，βmT等价，故存在矩阵P，Q，使得
    (α1T，α2T，…，αmT)=(β1T，β2T，…，βmT)P，
    (β1T，β2T，…，βmT)=(α1T，α2T，…，αmT)Q．
所以A=PTB，B=QTA，故由Ax=0，得Bx=QTAx=0．反之，由Bx=0，得
Ax=PTBx=0，即Ax=0与Bx=0同解．故B正确．
    对于A，由B的证明，知A不正确．
    对于C，相当于r(A)=r(B)，是必要非充分条件．
    对于D，举反例，例如

显然，Ax=0与Bx=0同解，但ATx=0与BTx=0不同解．
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考研数学三

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