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设A，B均是m×n矩阵，则方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是( )
设A，B均是m×n矩阵，则方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是( )
admin
2022-05-20
31
问题
设A，B均是m×n矩阵，则方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是( )
选项
A、A，B的列向量组等价
B、A，B的行向量组等价
C、A，B是等价矩阵
D、A
T
x=0与B
T
x=0同解
答案
B
解析
对于B，若Ax=0与Bx=0同解，考虑方程组
即A，B的行向量组等价，反之，若A，B的行向量组等价，记
即列向量组α
1
T
，α
2
T
，…，α
m
T
与β
1
T
，β
2
T
，…，β
m
T
等价，故存在矩阵P，Q，使得
(α
1
T
，α
2
T
，…，α
m
T
)=(β
1
T
，β
2
T
，…，β
m
T
)P，
(β
1
T
，β
2
T
，…，β
m
T
)=(α
1
T
，α
2
T
，…，α
m
T
)Q．
所以A=P
T
B，B=Q
T
A，故由Ax=0，得Bx=Q
T
Ax=0．反之，由Bx=0，得
Ax=P
T
Bx=0，即Ax=0与Bx=0同解．故B正确．
对于A，由B的证明，知A不正确．
对于C，相当于r(A)=r(B)，是必要非充分条件．
对于D，举反例，例如
显然，Ax=0与Bx=0同解，但A
T
x=0与B
T
x=0不同解．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QUR4777K
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考研数学三
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