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设函数y(x)在(-∞,+∞)内有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程; (Ⅱ)求解变换后的微分方程的通解。
设函数y(x)在(-∞,+∞)内有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程; (Ⅱ)求解变换后的微分方程的通解。
admin
2018-11-16
58
问题
设函数y(x)在(-∞,+∞)内有二阶导数,且y
’
≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的方程
变换成y=y(x)所满足的微分方程;
(Ⅱ)求解变换后的微分方程的通解。
选项
答案
本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出[*]之间的联系,再代入方程使之简化,从而将非常数系数方程化为常系数线性微分方程再求解。 (Ⅰ)由反函数求导公式[*],即[*],再对x求导,有[*],从而有[*]代入原方程[*]即y
’’
-y=sinx。 (Ⅱ)y
’’
-y=sinx对应齐次方程y
’’
-y=0的特征根为r=±1,因此对应齐次方程通解为[*]=c
1
e
x
+c
2
e
-x
。 在y
’’
-y=sinx中,由于r=i不是相应齐次方程的特征根,因此它有形如y=Acosx+Bsinx的特解,将其代入y
’’
-y=sinx中,可得A=0,B=[*],因而方程y
’’
-y=sinx有特解y
*
=[*],故方程y
’’
-y=sinx的通解为y=c
1
e
x
+c
2
e
-x
-[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/38W4777K
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考研数学三
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