2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．

admin2015-08-14  28
问题 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．
选项
答案把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*](ξ1)x2 (0＜ξ1＜x)． 在公式中取[*]．利用题设可得[*] 把函数f(x)在x=1展开成泰勒公式，得 [*] f"(ξ1)一f"(ξ2)=8→|f"(ξ1)|+|f"(ξ2)|≥8． 从而，在ξ1和ξ2中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．
解析
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考研数学二

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